数学学习建议和总结（初二上学期篇）

　　昨天，分享了一些本学期初一数学的学习建议和对不同学生需要关注的地方的总结。

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　　经过了初一这一整年，初二的同学相对已经很少存在说不适应初中节奏的问题了。一些真的有比较大学习障碍，自控能力偏弱，学习态度不佳的同学已经能看出明显的掉队，这部分就不讨论了，说说剩余的情况。

　　同样地，普娃和有拔尖需求的娃，在数学学习上的侧重点理应不同。

　　前者需要解决每个学期的所有基础问题，做熟做扎实，然后循序渐进去挑战一些更加综合，难度更大的题目。后者则是在保证基础稳如狗的前提下，不要逃避压轴题，多花时间在难题的思考与总结上，去形成一套解决常规难题的套路，以及面对没见过的新题型的方向。

　　具体到学习内容上，初二和初一又有很大的不同。

　　初一篇的时候讲过，初一主要打的是代数基础，除了上学期几个代数章节，下学期也有不等式、二元一次方程组、实数这几个纯代数章节，以及数轴的延伸与函数的前置知识——平面直角坐标系，依然是代数。

　　同样是难题，初一上学期数轴动点的确定性会更强，题目再怎么变也就是那几类，无非就是初始位置变、速度变、方向变，变化几乎可控，则大多数题目套路可控。

　　然而，初二的数学则更侧重几何，因此情况有所不同。

　　初二上学期的前半个学期都在三角形里遨游，三角形、全等三角形和轴对称（本质上是等腰和等边三角形）。这个学期的压轴题必然也是三角形的综合问题，三角形相关学习和难题将贯穿整个学期，并且其知识储备和对几何题的学习和解题感觉会一直延续到初二下学期的勾股与平行四边形，乃至初三几何。

　　对学生的要求上，代数题目多半是可以做到熟能生巧的，也是可以勤能补拙的。也就是说本身数感不强，思维敏捷度不高的学生，也可以凭借多做多练把熟练度和正确率提上来。

　　但几何却是另一个要求。几何除了要求同学们记熟判定与性质之外，其题目变化多端，联系紧密，逻辑要求高。

　　给你一道计算题，你可能算错，你可能粗心，但你肯定知道题目要你干啥。但给你一道几何题，你可能就不知道怎么证，是通知所学的哪些知识去做这道题——一道题可以涉及多个知识。

　　举个不恰当的例子去类比，语文文言文考试让你翻译，考的是课内文言文，你不会是怨不得人的，这就是该记该背的没做好。但如果考的是课外文言文，那就没法背，做不出来就是对文言文知识的运用和迁移能力不足，而这个要求显然要高不少。

　　此外，一些题目因为条件较多，有些同学转不过来就是转不过来。

　　举个例子，几何证明中，等量代换这个极其常用的数学方法，每个同学都用过，也都知道叫做等量代换。最常见的比如：因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3；或者：因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3。

　　以上水平不太差的的同学必然是能理解的。但在具体题目中，涉及到的角往往不止有∠1、∠2和∠3，还有4、5、6、7、8……并且题目也不会告诉你哪个角是要用的。此外，要用到的往往不止3个角，可能涉及好几组的等量代换，最后才纠缠到一起，出现能够证明的逻辑，比如：

　　∠1=∠2，∠1+∠3=90°；

　　∠3=∠4，∠4+∠5=90°；

　　上述，你能反应过来一些什么结论吗？转速慢点的同学，可能就不行。

　　再说，题目很多时候不会直接给你角相等和角互余/互补的条件，又要你通过诸如全等、三线合一、平行等方式证明。

　　一直做几何题，其实是挺累的，再加上数学难题本来完成率就不高，天然打击学生的积极性。要知道，现在的手机游戏任务都是以极其简单的引导为主，生怕稍微复杂一点点就失去了玩家，刷个短视频都是把你爱看的内容喂给你，很多学生已经没有了这种沉下心来思考，挑战困难的耐心和成就感了。

　　数学要学得好，这种不怕困难，甚至乐于挑战困难的心态，必不可少。

　　到了下半个学期，也就是目前初二正在学习的整式乘除与乘方、因式分解以及分式部分，又回到代数。

　　刚开始学的时候我问我的学生这部分难还是几何难，多数学生说这部分难，因为做题总是错，符号总搞错。我说那知识因为你们刚开始，学校天天上课和作业，一两周过后你们就能哐哐做题，不带思考的那种。

　　当时半信半疑，现在基本实现。

　　初中数学考试，代数考得并不难，或者说不是主要会出难题的部分，上课认真，勤做，哪怕基础一般的同学应付代数考试也应该绰绰有余。如果不行的话，其实同学们应该反思自己有没有把该做的做足，就像我在初一篇贴出来的我那个学生计算的例子和我的评语，一个地方在理解之后如果总出错，那只能是自己的问题。

　　当然，代数水平应付初中考试基本足够，但要应对初三开始的二次函数难题，一些含参的二次多项式或者方程题目，以及高中数学和物理对计算能力的更高要求，依然是需要在此时此刻开始好好优化计算流程，以提高速度和正确率，并且要培养一定的数感。

　　本学期因式分解部分，一个很显著的锻炼是：十字相乘。大家可以看看自己十字相乘的的能力如何，保底的应该要能够顺利做出二次项系数为1的十字相乘题目，更高阶的要求是二次项系数不为1的，以及含参数的十字相乘练习，这可以充分帮助大家锻炼数感。

　　大概就这样吧，不知不觉又写了2000字，这种内容对大家来说一般会比较枯燥，但希望有所帮助。

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