学术交流 - 基于单元教学的情境创设和问题设 以“计数原理”为例计

　　本文系北京市中学数学教育教学论文展示活动优秀论文。

　　作者简介

　　赵燕，北京市丰台区教育学院教研员，高级教师，北京市骨干教师，致力于课堂教学的实践研究，持续赋能区域教师专业发展。

　　1.问题提出

　　《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）在实施建议中指出“创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养”，“在教学活动中，应结合教学任务及蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题”.合适的教学情境可以启发学生思考，有效的数学问题可以培养学生自主探究的能力，从而提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.无论是单元教学还是单一课时的教学，都会围绕教学任务设计问题，引发学生思考，过于琐碎或者思维含量不高的问题会限制学生核心素养的发展.

　　基于单元教学进行情境创设与问题设计，需要关注单元的整体内容，找到核心大问题，同时兼顾课时内容之间的联系，把核心大问题分解成多组子问题，每个课时教学都在子问题的引领下进行，每组子问题都在回扣核心大问题，这样整个单元的问题设计就是一个有机的整体.本文以“计数原理”单元为例，聚焦“二项式定理”的教学内容，探讨如何关注单元教学进行情境创设与问题设计，实现学生核心素养的提升.

　　2.“计数原理”单元的教学解析

　　2.1教学内容解析

　　“计数原理”单元属于《标准（2017年版）》选择性必修课程的“主题三概率与统计”，既相对独立，又是后续学习概率与统计的基础.主要包含三部分内容：（1）两个基本计数原理；（2）排列与组合；（3）二项式定理.基本关系可由下图表示：

　　两个计数原理是解决计数问题的基础，排列与组合是两类特殊的计数问题，可以利用两个基本计数原理推导出计数公式.二项式定理是有广泛应用的代数公式，二项式定理的推导就是两个计数原理、组合数公式的重要应用.

　　计数原理属于组合数学的基本内容.组合数学所研究的有关问题有的早在公元前2100年就已经存在.在夏禹时代，人们发现了洛水神龟后背上的神奇图案，并于《河图》、《洛书》中就一些有趣的组合问题给出了解释.为了使自然数系在计量中更加有用、好用，人们在自然数系定义了满足运算律的加法、乘法，这两种方法经过推广就成了本单元的分类加法计数原理和分步乘法计数原理，应用这两个计数原理可以得到两类特殊计数问题的计数公式，即排列数公式和组合数公式，应用计数原理与计数公式，还可以推出二项式定理，这个定理在数学的许多领域都有重要应用.

　　2.2知识构建方式

　　在本单元的学习中，原理的构建和公式的推导，都遵循了从特殊到一般，从具体到抽象的原则，通过归纳得出，这是研究代数问题的基本方法.具体的来说，“两个基本原理”、“排列”、“组合”的构建方式可以如下表述.

　　“两个基本原理”的构建方式：问题情境→分析问题、提炼问题特征→探究解决问题的方法→由特殊到一般，获得原理→进一步推广.

　　“排列”的构建方式：提出问题→创设问题情境→归结为“将元素排成一列”的问题→归纳共同点→抽象概括一般概念.

　　“组合”的构建方式：创设问题情境→概括研究问题→总结排列与组合之间的区别与联系（一般）→创设问题情境，思考排列与组合的区别与联系（特殊）→再由特殊回到一般情形，进一步抽象，归纳总结.

　　“二项式定理”作为计数原理在多项式展开中的应用，已有教学或者教材中的构建方式与“两个基本原理”、“排列组合”不同.

　　在已有的教学中，有的教师直接从牛顿创立二项式定理的史实入手引出主题，利用计数原理证明定理（屈黎明，2015；何磊，冯津爽，2017）.有的教师基于乘法公式引出二项式定理，利用计数原理和数学归纳法证明定理（徐永忠，2019）.还有教师借鉴历史，从开方角度引出二项式定理，利用计数原理证明定理（张坤，2018）.

　　《普通高中教科书·数学选择性必修第三册》（人教A版）中在“二项式定理”这一节中安排的探究活动如下：

　　可以发现，这些教学实践或教材多是在定理的证明阶段才应用计数原理，而对于高中生而言，定理的得出过程蕴含了极为复杂的思维活动，需要突破展开式中“项数”与“系数”两个难点，教材中探究活动的设计抽象程度较高，且与排列组合的构建方式有一定差异，即没有从具体问题情境出发探讨，不利用难点的突破.本文尝试在定理的探究阶段把情境创设和问题设计真正的与计数原理的内容结合起来，深入探讨如何基于“计数原理”单元教学进行情境创设和问题设计.

　　3.“计数原理”单元的问题设计

　　本单元的核心大问题是“如何计数？”针对这一核心大问题，在本单元的3节内容中分别设置子问题，解决计数问题，简单概括如下.

　　表中的问题1-问题8详见后文.

　　下面详细介绍如何紧紧围绕核心大问题设计子问题.

　　3.1关于两个计数原理

　　计数问题是生活中常见的问题，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但是当问题中的数量很大时，逐一计数效率不高，需要寻求更为巧妙的计数方法提高效率.计数原理是在实践中总结出来的，人教A版的问题设计是先给出适用于分类加法原理的计数问题提炼共性得到分类加法计数原理，再给出适用于分步乘法的计数问题得到分步乘法计数原理，这样的问题设计虽然提高课堂效率，却不利于学生的思维发展，实际上我们遇到的计数问题是纷繁复杂的，问题设计中可以把涉及两类计数问题的内容放在一起呈现，从而更好的归纳原理。

　　问题1：用以下字符：A，B，C，D，E，F，1,2,3,4,5,6,7,8,9给教室里的一个座位编号.

　　（1）选其中一个大写字母或一个阿拉伯数字编号，总共能编出多少种不同的号码？

　　问题2：某班共有男生30名、女生24名.

　　（1）从中任选1名同学代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

　　（2）从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

　　设计意图：问题1和问题2就是两个原理的教学中的核心问题，围绕如何计数更加高效逐步归纳出原理.完成这2个问题后追问：如果对上述4个计数问题进行分类，你会如何分类？理由是什么？通过追问归纳概括两个计数原理.

　　3.2排列与组合

　　应用两个计数原理解决问题的过程中发现，对于某些特定的计数问题应用原理时会有一些重复性的工作，进行优化之后总结出排列与排列数公式以及组合与组合数公式，问题设计同样突出如何高效的计数.

　　问题3：用以下字符：A，B，C，D，E，F，1,2,3,4,5,6,7,8,9给教室里的一个座位编号.

　　（1）任选其中2个字符编号，总共能编出多少种不同的号码？

　　（2）任选其中3个字符编号，总共能编出多少种不同的号码？

　　设计意图：问题3的设计是问题1的延续，通过探讨问题3可以进一步探讨如何更高效的计数.问题解决之后追问：能否提出其他类似的计数问题？能否将这类问题推广到的一般情形？通过追问概括排列这一概念.

　　问题4：有以下字符：A，B，C，D，E，F，1,2,3,4,5,6,7,8,9.

　　（1）从中任选2个字符，有多少种不同的选法？

　　（2）从中任选3个字符，有多少种不同的选法？

　　设计意图：问题4的设计是问题1和问题3的延续，通过探讨问题4可以进一步探讨如何更高效的计数.问题解决之后追问：能否提出其他类似的计数问题？能否将这类问题推广到的一般情形？通过追问概括组合这一概念.

　　3.3二项式定理

　　二项式定理是n个二项式相乘的结果的一种代数表达，是在学习计数原理的基础上，根据多项式相乘的运算法则及计数原理推导而来的，是计数原理的应用，二项式展开的核心问题是项数问题与系数问题，这都属于计数问题，因此二项式定理可以看作一个计数案例.二项式定理也是乘法规律的一种表现，其反映的是二项式展开过程中系数的一种代数规律性，是一种恒等变换.根据2.2中问题的阐述可以知道，很多老师对二项式定理的教学有多种尝试，各有利弊.笔者认为二项式定理的问题设计仍需要立足单元教学.

　　3.3.1二项式定理溯源

　　公元前3世纪欧几里得的《几何原本》以及1世纪的《九章算术》中都有关于二项式展开式的研究记载，由于三次以上开方的需要，11世纪中叶，我国数学家贾宪给出了直到六次幂的二项式系数表.11至12世纪，波斯数学家、诗人奥玛海亚姆将印度人的开平方、立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式.1654年，帕斯卡在《论算术三角形》一书中构建了算术三角形，并总结了它的许多性质.1665年，牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形.1695年，莱布尼茨和瑞士数学家约翰伯努利将正整数次幂的二项式定理推广到三项以上情形.18世纪开始，数学家开始对二项式定理做证明.

　　3.3.2问题设计

　　问题5：现有编号为A、B、C、D、E的5只口袋，每只口袋中都装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，现从每个口袋中摸出一个球，放到编号为F的空口袋中，

　　（1）口袋F中有多少个球？

　　（2）口袋F中白球和黑球的组成有多少种不同的情况？

　　（3）如果口袋F中有3个白球2个黑球，

　　①请问有多少种不同的取法可使口袋F中恰有3个白球2个黑球？

　　②若5只口袋中的白球上都标有字母a，黑球上都标有字母b，将口袋F中球上的字母相乘，其结果是什么？

　　设计意图：通过摸球试验（具体内容见下文）发现二项式展开式中项的结构特征，进而证明二项式定理.在用法则和计数原理推导定理的过程中，积累从具体到抽象的活动经验，体会数学的严谨性，发展数学抽象与数学运算核心素养．

　　接着通过下面的问题6和问题7，自主探索，形成定理。

　　设计意图：问题8中的4个问题是在学习二项式定理的基础上进一步探究二项式系数的性质.问题8-1是二项式定理的直接应用，问题8-2是从“数”的角度探究性质，问题8-3是通过函数图象探究性质（从“形”的角度）．问题8-1至8-4为二项式系数性质的探究做准备.

　　4.二项式定理内容的教学实施及学生表现

　　4.1基于课程标准与教学内容的课时分配

　　根据《普通高中数学课程标准·2017年版》要求，以二项式定理这一教学内容为载体，逐步发展学生数学抽象和数学运算核心素养．在本单元的3课时中的具体体现如下：

　　第一课时《二项式定理》，通过摸球实验（见第一课时教学设计）发现二项式展开式中项的结构特征，进而证明二项式定理.在用法则和计数原理推导定理的过程中，积累从具体到抽象的活动经验，体会数学的严谨性，发展数学抽象与数学运算核心素养．

　　第二课时《杨辉三角与二项式系数的性质》，是在第一课时的基础上，研究二项式系数的规律.在探究性质（课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究）的过程中，把握研究对象（杨辉三角）的数学特征，并用准确的数学语言予以表达，体验数学发现和创造的历程，发展应用意识和创新意识，重在基本活动经验的获得；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）．能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理解数学结论的一般性，进一步发展数学抽象素养．第2课时的突出特点是“多思少算”．

　　第三课时《二项式定理的应用》，在学习二项式定理的基础上，进一步根据多项式相乘的运算法则深入理解定理，运用定理和性质解决具体的问题，较前2课时增加了运算，可谓“多思多算”，进一步发展数学运算素养，从抽象（定理）回到具体（问题）．同时例题的设计充分考虑核心素养的水平划分：从直接运用法则进行运算，解决问题（例1），到合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题（例2），再到构造运算程序，解决问题（例3）．

　　4.2教学方法的选择

　　4.3课堂教学问题的设计

　　4.3.1第一课时《二项式定理》中的教学问题设置

　　在本课时的教学中布置思考问题1，引发学生思考：

　　问题1：现有编号为A、B、C、D、E的5只口袋，每只口袋中都装有形状大小相同的一个白球和一个黑球，现从每个口袋中摸出一个球，放到编号为F的空口袋中，

　　（1）口袋F中有多少个球？

　　（2）口袋F中白球和黑球的组成有多少种不同的情况？

　　（3）如果口袋F中有3个白球2个黑球，

　　①请问有多少种不同的取法可使口袋F中恰有3个白球2个黑球？

　　②若5只口袋中的白球上都标有字母a，黑球上都标有字母b，将口袋F中球上的字母相乘，其结果是什么？

　　在学生回答问题的过程中，教师通过适时的追问不断深入．

　　4.3.2第二课时《二项式系数的性质》的教学问题设置

　　结合本节课内容设置课前问题链：

　　教学中师生共同交流上述问题链中的问题（课上思考）：

　　如何解决问题1？在解决问题的过程中有何发现？

　　问题2是通过“杨辉三角”探究性质（从“数”的角度），问题3是通过函数图象探究性质（从“形”的角度）．课上学生畅所欲言自己的发现，师生共同梳理．

　　环节1：展示学生完成问题1和问题2的情况，然后交流讨论：

　　学生1是按部就班的解决问题1（即利用二项式定理逐一展开），然后再进行后面的思考．

　　教师提问：你们解决问题1的方法与学生1相同吗？

　　学生2是在解决问题的过程发现了对称性，但是还未抽象出对称性．

　　学生3在解决问题1的过程中发现了最大值和对称性，并且进行了抽象概括，同时利用对称性简化了问题1的计算．

　　教师引导：请尝试抽象概括出最大值．

　　发现1：从“杨辉三角”中看到高阶等差数列：如每行的第2个数构成等差数列：1,2,3,4,5,6,7,8；从第2行开始每行的第3个数：1,3,6,10,15,21,28构成二阶等差数列；从第3行开始每行第4个数：1,4,10,20,35,56构成三阶等差数列；以此类推．

　　（课下延伸）有些性质的证明并不要求学生掌握，可以直接把证明过程展示给学生，但是要让学生从中体会到：归纳——猜想——证明（说明）等的推理论证过程．

　　方法1：利用组合数的运算给出证明，师生共同欣赏证明过程．

　　方法2：利用组合意义解释：

　　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球

　　（1）从口袋内取出3个球，共有多少种不同的取法？

　　（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

　　（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

　　4.3.3第三课时中的教学问题设置

　　本节课进一步应用二项式定理解决问题．在解决问题的过程中，根据二项式定理，结合运算法则，探究运算思路，求得运算结果，发展数学运算核心素养．

　　问题1：如何求二项（或多项）展开式中的特定项和特定项的系数

　　通过例1的三个问题总结求二项（或多项）展开式中的特定项和特定项的系数方法．

　　教师在学生给出问题（1）的几个思考角度之后，补充下面的思路，加深认识：④建立模型分析，仿照第二课时中摸球的游戏，建立模型理解问题．

　　要求学生能够根据问题的特征形成合适的运算思路，解决问题．

　　第（2）问是在第（2）问的基础上进一步思考两个二项式积的展开式中的特定项系数问题，根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当运用分类方法，以免重复或遗漏．

　　基于单元教学，第一课时“摸球模型”与“二项式展开问题”相结合给了学生深入思考的可能，第二课时把课前思考、课上探究、课下延伸相结合，给了学生更多思考的空间，第三课时围绕“二项式定理”的思维活动更加灵活多变.基于单元教学的课堂教学问题设计，使得三节课的问题设计成为一个有机的整体，有利于学生的自主探究，从而提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

　　5.小结

　　单元教学可以从整体上把握教学内容，实现学生核心需要的全面提升，立足单元教学的问题设计可以使得问题成为一个有机的整体，有利于学生的自主探究，提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

　　参考文献

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　　[4]綦春霞．数学问题解决在中国的研究历史及其影响[J]．课程·教材·教法，2007，27（12）：32–35．

　　[5]史宁中．高中数学课程标准修订中的关键问题[J]．数学教育学报，2018，27（1）：8–10

　　[6]张维忠.问题解决及其对数学教育的影响.课程·教材·教法，1994(4)

　　审核 | 张丽莉

　　编辑 | 徐贺勤